PENGUJIAN HIPOTESIS

1.       PENDAHULUAN

Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan  hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. (dalam penelitian hipotesis dapat diartikan jawaban sementara terhadap rumusan masalah penelitian). Jika asumsi itu atau dugaan itu dikhususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis itu disebut  hipotesis statistik. kecuali dinyatakan lain, di sini dengan hipotesis dimaksudkan hipotesis statistik.

Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan karenanya perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis

Di dalam bab ini, cara pengujian hipotesis akan dipelajari dan dari hasilnya kesimpulan tentang populasi akan dibuat.

2.       DUA MACAM KEKELIRUAN

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama:

a)      Kekeliruan tipe I : ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima,

b)      Kekeliruan tipe II : ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Untuk meningkatkan hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan tipe kekeliruan, dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.

DAFTAR VI (1)

TIPE KEKELIRUAN KETIKA MEMBUAT KESIMPULAN

TENTANG HIPOTESIS

KESIMPULAN	KEADAAN SEBENARNYA
	HIPOTESIS BENAR	HIPOTESIS SALAH
Terima Hipotesis	BENAR	KELIRU (Kekeliruan Tipe II)
Tolak Hipotesis	KELIRU (Kekeliruan Tipe I)	BENAR

Ketika merencanakan suatu penelitian dalam rangka pengujian hipotesis, jelas kiranya bahwa kedua tipe kekeliruan itu harus dibuat sekecil mungkin. Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekeliruan itu kita nyatakan dalam peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan a (baca : alfa) dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan b (baca : beta). Berdasarkan ini, kekeliruan tipe I dinamakan pula kekeliruan a dan kekeliruan tipe II dikenal dengan kekeliruan b.

Dalam penggunaanya, a disebut pula taraf signifikan atau taraf arti atau sering disebut pula taraf nyata. Besar kecilnya a dan b yang dapat diterima dalam pengambilan kesimpulan bergantung pada akibat-akibat atas diperbuatnya kekeliruan-kekeliruan itu. Selain daripada itu perlu pula dikemukakan bahwa kedua kekeliruan itu saling berkaitan. Jika a diperkecil, maka b menjadi besar dan sebaliknya. Pada dasarnya, harus dicapai hasil pengujian hipotesis yang baik, ialah pengujian yang bersifat bahwa di antara semua pengujian yang dapat dilakukan dengan harga a yang sama besar, ambillah sebuah yang mempunyai kekeliruan b paling kecil.

Prinsip demikian memerlukan pemecahan matematik yang sudah keluar dari tujuan buku ini. Karenanya, untuk keperluan praktis, kecuali dinyatakan lain, a akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa digunakan, yaitu a = 0,01 atau a = 0,05. Dengan a = 0,05 misalnya, atau sering pula disebut taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05.

3.       LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS

Pengujian hipotesis akan membawa kepada kesimpulan untuk menerima hipotesis atau menolak  hipotesis. Hipotesis di sini akan dinyatakan dengan H, Supaya nampak adanya dua pilihan, hipotesis H ini perlu didampingi oleh pernyataan lain yang isinya berlawanan. Pernyataan ini yang merupakan hipotesis tandingan untuk H, akan disebut alternatif, dinyatakan dengan A. Pasangan H dan A ini, tepatnya H melawan A, lebih jauh juga menetukan kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah penolakan hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering pula dikenal dengan nama daerah kritis.

Kalau yang sedang diuji itu parameter q (dalam penggunaannya nanti q bisa rata-rata m, proporsi p, simpangan baku s dan lain-lain), maka akan didapat hal-hal:

a)            Hipotesis mengandung pengertian sama. Dalam hal ini pasangan H dan A adalah:

1)   H : q = q_o                                               2)   H : q = q_o 

A : q = q₁                                                     A : q ¹ q_o

               3)   H : q = q_o                                                   4)   H : q = q_o

A : q > q_o                                                      A : q < q_o

dengan q_o , q₁ dua harga berlainan yang diketahui. Pasangan 1) dinamakan pengujian sederhana lawan sederhana sedangkan yang lainnya merupakan pengujian sederhana lawan komposit.

b)            Hipotesis mengandung pengertian maksimum.

Untuk ini H dan A berbentuk :

H : q £ q_o

A : q > q_o     

Yang biasa dinamakan pengujian komposit lawan komposit.

c)            Hipotesis mengandung pengertian minimum.

Perumusan H dan A berbentuk:

H : q ³ q_o

A : q < q_o

Ini juga pengujian komposit lawan komposit.

Dalam hand out ini pasangan H_o dan H₁ yang dibahas adalah yang  dirumuskan dalam bentuk :

 

            atau

            atau

Adapun langkah-langkah pengujian hipotetsis dapat diringkas sebagai berikut.

1.      Nyatakan hipotetsis nolnya H₀ bahwa q = q_o ,

2.      Pilih hipotetsis alternative H₁ yang sesuai q ¹ q_o, q > q₀ ,q < q_o

3.      Tentukan taraf signifikan a.

4.      Pilih statistic uji yang digunakan apakah z, t, c² , F atau lainnya, kemudian tentukan daerah ktitisnya (dari table statistic yang digunakan).

5.      Hitung nilai statistic uji berdasarkan sample (melakukan perhitungan data).

6.      Keputusan: tolah H₀ jika nilai statistic uii tersebut jatuh dalam daerah kritis, sedangkan jika nilai itu jatuh diluar daerah kritis H₀ diterima.

Untuk penentuan daerah kritis.

1)            Jika H₁ mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi yang digunakan, normal untuk angka z, Student untuk t, dan seterusnya, didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah ½a. Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis dinamakan uji dua pihak.

Gambar di atas memperlihatkan sketsa distribusi yang digunakan disertai daerah-daerah penerimaan dan penolakan hipotesis. Kedua daerah ini dibatasi oleh d₁ dan d₂ yang harganya didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan menggunakan peluang yang ditentukan oleh a. Kriteria yang didapat adalah: terima hipotesis H_o jika harga statistik yang dihitung berdasarkan data penelitian jatuh antara d₁ dan d₂, dalam hal lainnya H_o ditolak.

2)            Untuk H₁ yang mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan a

 

Harga d, didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan oleh a, menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan H_o. Kriteria yang dipakai adalah: tolak H_o jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d. Dalam hal lainnya kita terima H_o. Pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.

3)            Akhirnya, jika tandingan H₁ mengndung pernyataan lebih kecil, maka daerah kritis ada di ujung kiri dari distribusi yang digunakan. Luas

daerah ini = a yang menjadi batas daerah penerimaan H_o oleh bilangan d yang didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan. Peluang untuk mendapatkan d ditentukan oleh taraf nyata a.

Kriteria yang digunakan adalah: terima H_o jika statistik yang dihitung berdasarkan penelitian lebih besar dari d sedangkan dalam hal lainnya H_o kita tolak. Dengan demikian, dalam hal ini kita mempunyai uji satu pihak, ialah pihak kiri.

4.       MENGUJI RATA-RATA m  SATU SAMPEL : UJI DUA PIHAK

Uji rata-rata  untuk satu sample merupakan prosedur uji untuk sampel tunggal, yaitu rata-rata suatu variabel tunggal dibandingkan dengan nilai konstanta tertentu.

Umpamakanlah kita mempunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata m dan simpangan baku s. Akan diuji mengenai parameter rata-rata m.

Untuk ini, seperti biasa diambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu dihitung statistik  dan s. kita bedakan hal-hal sebagai berikut:

      Hal. A). s diketahui

Untuk pasangan hipotesis

dengan m_o sebuah harga yang diketahui, digunakan statistik:

 

VI (1) ……………………………

Statistik z ini berdistribusi normal baku, sehingga untuk menentukan kriteria pengujian, seperti tertera dalam gambar VI (1), digunakan daftar distribusi normal baku. H_o kita terima jika – Z _½(1-a)   < Z <  Z _{½(1- a )}     dengan Z _{½(1- a)} didapat dari daftar normal baku dengan peluang ½(1- a). Dalam hal lainnya H_o ditolak.

Contoh: Kepala Sekolah mengatakan bahwa rata-rata nilai raport siswa-siswanya sekitar 7,6. Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa rata-rata nilai raport siswa di sekolah tersebut telah berubah. Untuk mentukan hal ini dilakukan penelitian dengan menguji 50 siswa. Ternyata rata-ratanya 7,2. Dari pengalaman diketahui bahwa simpangan baku nilai raport 0,9. Selidiki dengan taraf nyata 0,05 apakah rata-rata nilai raport di sekolah tersebut sudah berubah atau belum!

Jawab: Dengan memisalkan nilai raport berdistribusi normal, mengikuti langkah pengujian hipotetsis

1.       H₀ : m = 7,6  , berarti rata-rata nilai raport sekitar 7,6

2.       H₁ : m ≠7,6  , berarti rata-rata nilai raport telah berubah dan bukan sekitar 7,6

3.       a = 0,05

4.       Daerah kritis dari daftar normal baku untuk uji dua pihak dengan a = 0,05 yang memberikan z_0,475 = 1,96

Terima H_o, jika z hitung terletak antara –1,96 dan 1,96. Dalam hal lainnya H_o ditolak.

5. Perhitungan

Dari pengalaman, simpangan baku s = 0,9 (diketahui)

Dari penelitian didapat  = 7,2 jam dengan n = 50. Statistik yang digunakan adalah dalam Rumus VI (1) dengan mensubtitusikan m_o = 7,6. Didapat:

                              = -3,143

6. kesimpulan.

Dari penelitian sudah didapat z = –3,143 dan jelas terletak dalam daerah penolakan H_o. jadi H_o ditolak.        

      Ini berarti dalam taraf nyata 0,05, penelitian memperlihatkan bahwa memang rata-rata nilai raport siswa di sekolah tersebut telah berubah tidak sekitar 7,6.

Hal. B). s tidak diketahui

Pada kenyataannya, simpangan baku s sering tidak diketahui. Dalam hal ini , maka diambil taksirannya, ialah simpangan baku s yang dihitung dari sampel dengan menggunakan Rumus V(5). Statistik yang digunakan utnuk menguji pasangan hipotesis:

tidak lagi seperti dalam Rumus VI(1), akan tetapi:                                ….  VI (2).

Untuk populasi normal, diketahui bahwa t berdistribusi Student dk = (n – 1). Karena itu, distribusi untuk menentukan kriteria pengujian digunakan disribusi Student dan batas-batas kriteria untuk uji dua pihak ini didapat dari daftar distribusi Student pula. H_o kita terima jika – t_{1 – ½ a} < t < t_{1 – ½ a} dengan  t_{1 – ½ a} didapat dari daftar distribusi t dengan peluang (1 – ½ a) dan dk = (n – 1). Dalam hal lainnya, H_o kita tolak.

Contoh: Untuk contoh di muka tentang nilai rata-rata raport, misalkan simpangan baku populasi tak diketahui, dan dari sampel didapat s = 1,5. Maka dari Rumus VI (2) dengan , m = 7,6, s= 1,5 dan n = 50, didapat:

 

Dari daftar distribusi Student dengan a = 0,05 dan dk = 49 untuk uji dua pihak, didapat t = 2,01. Kriteria pengujian: terima H_o jika t hitung terletak antara – 2,01 dan 2,01 , sedangkan dalam hal lainnya H_o ditolak.

Penelitian menghasilkan t = -1,896 yang jelas terletak dalam daerah penerimaan. Jadi rata-rata nilai raport di sekolah tersebut masih sekitar 7,6.

Catatan: Pengujian yang menghasilkan H₀ diterima dalam taraf nyata 0,05 dinamakan uji tak nyata atau uji tak berarti atau  uji non signifikan.

5.       MENGUJI RATA-RATA m SATU SAMPEL: UJI SATU PIHAK

Perumusan yang umum utnuk uji pihak kanan mengenai rata-rata m berdasarkan H_odan H₁ adalah:

Kita misalkan populasi berdistribusi normal dan daripadanya sebuah sampel acak berukuran n telah diambil. Seperti biasa, dari sampel tersebut dihitung  dan s. Didapat hal-hal berikut:

Hal A). s diketahui

Jika simpangan baku s untuk populasi diketahui, seperti biasa digunakan statistik z yang tertera dalam Rumus VI (1)

Sketsa untuk kriteria pengujian seperti

nampak dalam Gambar VI (2), ialah

menggunakan distribusi normal baku. Batas kriteria, tentunya didapat dari daftar normal baku. Kita tolak H_o jika z ³ z _{0,5 - a} dengan z _{0,5 - a} didapat dari daftar normal baku menggunakan peluang (0,5 - a). Dalam hal lainnya H_o kita terima.

Contoh: Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi mempunyai varians = 2,3. Metode baru diusulkan untuk mengganti yang lama jika rata-rata per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata rata-rata per jam menghasilkan 16,9 buah.

Pengusaha bermaksud mengambil risiko 5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan lebih dari 16 buah. Apakah keputusan si pengusaha?

Jawab: Dengan memisalkan hasil produksi berdistribusi normal, mengikuti langkah pengujian hipotetsis

1. 2.     

3.  a = 0,05

4.    Daerah kritis dari daftar normal baku untuk uji satu pihak kanan dengan a = 0,05 yang memberikan z_0,450 = 1,64

Dari daftar normal standar dengan

a = 0,05 diperoleh z = 1.64. kriteria pengujian adalah: tolak H_o jika z hitung lebih besar atau sama dengan 1,64 maka H_o diterima

5.       Perhitungan

Harga-harga yang perlu untuk menggunakan Rumus VI (1) adalah  =16,9 buah, n = 20,     s = (diketahui) dan m_o = 16 buah. Didapat:  

6.       Kesimpulan

Dari penelitian didapat z = 2,65 yang jelas jatuh pada daerah kritis. Jadi H_o ditolak. Ini menyimpulkan bahwa metode baru dapat menggantikan metode lama dengan mengambil risiko 5%.

Catatan: Pengujian yang menghasilkan H_o ditolak dengan taraf nyata atau uji berarti atau uji signifikan.

Jika H_o ditolak pada taraf 5% tetapi diterima pada taraf 1% maka dikatakan bahwa hasil uji “barangkali”berarti. Dalam hal ini dianjurkan untuk melakukan penelitian lebih lanjut dan pengujian dapat dilakukan lagi.

Contoh:         Bagaimanakah kesimpulannya jika diambil a = 0,01?

Jawab:          Untuk a = 0,01, dari daftar normal baku didapat z = 2,33. Dari perhitungan, harga z = 2,65 dan ini lebih besar dari 2,33. Jadi jatuh pada daerah kritis. Karenanya H_o ditolak. Kesimpulan dapat dibuat seperti di atas, hanya sekarang risikonya satu persen.

Catatan:        Uji yang berarti pada taraf 1% dikatakan hasil uji sangat berarti, atau sangat nyata atau sangat signifikan.

Hal B). s tak diketahui

Seperti dalam Bagian 4, maka jika s tidak diketahui, statistik yang digunakan untuk menguji

adalah statistik t seperti dalam Rumus VI (2).

Kriteria pengujian didapat dari daftar distribusi Student t dengan dk = (n –1) dan peluang (1 - a). Jadi kita tolak H_o jika t ³ t_{1 - a} dan terima H_o dalam hal lainnya.

Contoh: Dikatakan bahwa dengan memberi pelajaran tambahan di luar jam sekolah akan meningkatkan rata-rata nilai matematika siswa sebesar 0,5. Sampel acak terdiri atas 31 siswa dan diberi pelajaran tambahan di luar jam pelajaran memberikan peningkatan nilai rata-rata matematika sebesar 0,9 dengan simpangan baku 0,6. Cukup beralasankah untuk menerima pernyataan bahwa peningkatan nilai rata-rata matematika paling sedikit 0,5 ?

Jawab : yang kita hadapi adalah pasangan hiipotesis :

Tambahan pelajaran di luar jam sekolah menyebabkan nilai rata-rata matematika bertambah paling sedikit 0,5.

; Tambahan pelajaran di luar jam sekolah tidak menyebabkan bertambahnya nilai rata-rata matematika sebesar 0,5.

1.2. 

3.    a = 0,01

4.      Daerah kritis dari daftar distribusi t untuk uji satu pihak kanan dengan a = 0,01 dan dk=30 didapat t tabel = 2,46

	Dengan mengambil  a = 0,01, dari daftar distribusi t dengan dk = 30 didapat t = 2,46

 

Kriteria pengujian adalah : tolak hipotesis H₀ jika t hitung lebih besar atau sama dengan 2,46 dan terima H₀ dalam hal lainnya.

5.       Perhitungan

,    s = 0,6 gram, n = 31 dan m₀ = 0,5 didapat :     

6.       Kesimpulan

Penelitian memberikan hasil t = 3,712 dan ini jatuh pada daerah penolakan H₀. Jadi H₀ kita tolak.  Memberi pelajaran tambahan di luar jam sekolah akan meningkatkan nilai rata-rata matematika siswa paling sedikit 0,5. Dalam pembuatan kesimpulan ini kesempatan melakukan kekeliruan terjadi kurang dari 5 diantara setiap 1.000.

Untuk menguji pihak kiri

Cara yang sama berlaku seperti untuk uji pihak kanan. Jika s diketahui, maka statistik z seperti dalam Rumus VI(1) digunakan dan tolak H₀ jika z £ –z_{0,5 – a}

z_{0,5 - a} didapat dari  normal baku menggunakan peluang (0,5 – a). Dalam hal lainnya H₀ diterima. Disini a = taraf nyata.

Jika s tidak diketahui, maka untuk uji pihak kiri tersebut digunakan statistik t seperti yan tertera dalam Rumus VI(2) . Dalam hal ini kita tolak hipotesis H₀ jika t £ – t_{1 – a} , dengan t _{1 – a}  didapat dari daftar distribusi student t menggunakan peluang (1 - a) dan dk = (n - 1) . untuk t > – t _{1 – a}  , hipotesis H₀ kita terima.

Contoh : Akhir-akhir ini masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan A dalam kaleng tidak sesuai dengan yang tertulis pada etiketnya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini, 23 kaleng makanan A telah diteliti secara acak. Dari ke – 23 isi kaleng tersebut, berat rata-ratanya 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 0,05, tentukan apa yang akan kita katakan tentang keluahan masyarakat tersebut !

Jawab : Jika rata–rata isi kaleng tidak kurang dari 5 ons, jelas masysrakat tidak akan mengeluh, karenanya akan diuji pasangan hipotesis :

1.2.

3.  a = 0,05

4. Daerah kritis

Dengan nilai a = 0,05 dan dk = 22, dari daftar distribusi t didapat t = 1,72. aturan untuk menguji adalah tolak H₀ jika t hitung £ –1,72 dan terima H₀ dalam hal lainnya.

5.       Perhitungan

Di sini simpangan baku  s tidak diketahui. Dengan memisalkan isi kaleng berdistribusi normal, maka Rumus VI(2) didapat statistik t :

6.       Kesimpulan

Dari perhitungan didapat t = – 2,398 yang jelas jatuh pada darah penolakan H₀. Jadi H₀ kita tolak dan pengujian memberikan hasil yang berarti pada taraf 5 %.

Kesimpulan : penelitian tersebut menguatkan keluahan masyarakat bahwa isi bersih makanan dalam kaleng sudah berkurang daripada yang tertera pada etiket.

6.       MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA (Dua Sampel):

UJI DUA PIHAK

Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua keadaan atau tepatnya dua populasi. Misalnya membandingkan dua cara mengajar, dua cara produksi, daya sembuh dua macam obat dan lain sebagainya.

Misalkan kita mempunyai dua populasi normal masing-masing dengan rata-rata m₁ dan m₂ sedangkan simpangan bakunya s₁ dan s₂ .Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran n₁ sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak berukuran n₂. Dari kedua sampel ini berturut-turut didapat , s₁, dan ,s₂ . Akan diuji tentang rata-rata m₁ dan m₂.

Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang akan diuji adalah :

H₀ :            m₁    =    m₂

H₁ :            m₁    ¹    m₂

untuk ini kita bedakan hal-hal berikut :

Hal A). s₁ = s₂ = s dan s diketahui

Statistik yang digunakan jika H₀ benar, adalah:                                     …VI(5)

Dengan taraf nyata a, maka kriteria pengujian adalah :

terima H₀ jika – z _{½ (1 - a)} < z < z _{½ (1 - a)} didapat dari daftar normal baku dengan peluang  ½ (1 - a). Dalam hal lainnya H₀ ditolak.

Hal B). s₁ = s₂ = s dan s tidak diketahui

Jarang sekali s₁ dan s₂ diketahui besarnya. Jika H₀ benar dan s₁ = s₂ = s sedangkan s tidak diketahui besarnya, statistik yang digunakan adalah                                            ……VI(6)                                        dengan  (7)                                          …VII (7)

Menurut teori distribusi sampling (tidak dibahas dalam buku ini) maka statistik t di atas berdistribusi Student dengan dk = (n₁ + n₂ – 2). Kriteria pengujian adala : terima H₀ jika  – t_{1 – ½ a} < t < t_{1 – ½ a}, di mana t_{1 – ½ a} didapat dari daftar distribusi t dengan     dk = (n₁ + n₂ – 2) dan peluang (1 – ½ a). Untuk harga-harga t lainnya H₀ ditolak.

Contoh: Seorang guru Matematika ingin membandingkan dua metode mengajar kepada siswanya, katakan metode A dan metode B. Untuk itu diambil sampel 12 anak menggunakan metode A dan 15 anak menggunakan metode B. Pada akhir penelitiannya kedua kelompok tadi dites dan menghasilkan nilai Matematika sbb:

Metode A	7,3	6,8	8,3	8,2	9	6,1	6,4	5,3	5,8	6,7	6,8	7,3
Metode B	6,7	7,4	7,8	8,1	7,3	6,9	8,4	6,1	5,5	5,7	6,8	6,6	7,5	6,7	7,4

Dalam taraf nyata a = 0,05, tentukan apakah kedua macam metode itu sama baiknya atau tidak. (diasumsi data berdistribusi normal dengan varians yang sama besar)

Jawab :

1. H₀ : m₁ = m₂ (rata-rata hasil belajar dengan metode A sama dengan rata-rata hasil belajar dengan metode B)

2. H₁ : m₁ ≠m₂  (rata-rata hasil belajar dengan metode A tidak sama dengan rata-rata hasil belajar dengan metode B)

3. a = 0,05

4. daerah kritis

harga t_0,975 dengan dk = 25 dari daftar distribusi Student adalah 2,06. Kriteria pengujian adalah : terima H₀ jika t hitung terletak antara – 2,06 dan 2,06 dan tolak H₀ jika t mempunyai harga-harga lain.

5. Perhitungan

Dari data diatas didapat =7,00, = 6,99, s_A² =1,18  dan s_B² = 0,69. Simpangan baku gabungan, dari rumus VI(7) didapat s = 0,951. Rumus VI(6) memberikan ;

6. Kesimpulan

Dari penelitian didapat t = 0,027 dan ini jelas ada dalam daerah penerimaaan. Jadi H₀ diterima.

Kesimpulan : kedua macam metode mengajar menghasilkan nilai rata-rata matematika yang sama.

Hal C). s₁ ¹ s₂ dan kedua-duanya tidak diketahui

Jika kedua simpangan baku tidak sama tetapi kedua populasi berdistribusi normal, hingga sekarang belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan. Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik t’ sebagai berikut ;

 

VI(8) ……………

Kriteria pengujian adalah terima hipotesis H₀ jika

dengan : w₁ = s₁²/n₁ ; w₂ = s₂²/n₂

t₁ = t (1 – ½ a).(n₁ – 1) dan

t₂ = t (1 – ½ a).(n₂ – 1)

t didapat dari daftar distribusi Student dengan peluang b dan dk = m. untuk harga-harga t lainnya H₀ ditolak.

Contoh : Ingin diketahui apakah LKS individual menghasilkan hasil belajar siswa yang sama atau tidak dengan LKS kelompok. Untuk itu diadakan percobaan 20 siswa diberi LKS kelompok dan 20 siswa diberi LKS individual. Rata-rata dan simpangan    bakunya   berturut-turut = 6,8,  s₁ = 1,1,  = 7,2 dan

 s₂ = 1,4 (data fiktif). Jika varians kedua populasi tidak sama, dengan taraf nyata 0,05, bagaimanakah hasilnya?

Jawab :  (langkah 1 dan 2)

Hipotesis H₀ dan tandingan H₁ adalah

H₀ :   m₁ =   m₂; kedua macam LKS memberikan rata-rata hasil belajar yang sama.

H₁ :   m₁ ¹   m₂; kedua macam LKS memberikan rata-rata hasil belajar yang berlainan.

3. a = 0,05

4. Daerah kritis

Harga-harga yang diperlukan adalah :

, 

dan

sehingga didapat :

Kriteria pengujian adalah : terima H₀ jika – 2,09 < t’ < 2,09 dan tolak H₀ dalam hal lainnya.

5.   Perhitungan.      

7.       Kesimpulan

Jelas bahwa t’ = –1,005 ada dalam daerah penerimaan H₀. Jadi kita terima H₀ dalam taraf yang nyata 0,05. Kesimpulan kedua LKS memberikan rata-rata hasil belajar yang sama.

Hal D). Observasi berpasangan

Untuk observasi berpasangan, kita ambil     m_B = m₁ - m₂. Hipotesis  nol dan tandingannya adalah :

H₀ :   m_B =   0

H₁ :   m_B ¹   0

Jika B₁ = x₁ – y₁, B₂ = x₂ – y₂, … , B_n = x_n – y_n, maka data B₁,B₂, … , B_n menghasilkan rata-rata  dan simpangan baku s_B. Untuk pengujian hipotesis, gunakan statistik :

 

VI(9) …………..

Dan terima H₀ jika – t_{1 – ½ a} < t < t_{1 – ½ a} dimana t_{1 – ½ a} didapat dari daftar distribusi t dengan peluang (1 – ½ a) dan dk = (n –1). Dalam hal lainnya H₀ ditolak.

Contoh : Data berikut adalah mengenai tinggi anak laki-laki pertama (X) dan tinggi ayah (Y) dinyatakan dalam cm.

Tinggi anak	Tinggi ayah	Beda (B)	B2
(1)	(2)	(3)	(4)
158	161	-3	9
160	159	1	1
163	162	1	1
157	163	-3	9
154	156	-2	4
164	159	5	25
169	163	6	36
158	160	-2	4
162	158	4	16
161	160	1	1
Jumlah		8	106

dan s_B² =  maka

Dari daftar distribusi t dengan peluang 0,975 dan dk = 9 didapat t_0,975 = 2,26. ternyata t = 0,762 ada dalam daerah penerimaan H₀. Jadi penelitian menghasilkan uji yang tak berarti.

8.       MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA (Dua Sampel) :

UJI SATU PIHAK

Sebagaimana dalam uji dua pihak, untuk uji satu pihak pun dimisalkan bahwa kedua populasi berdistribusi normal dengan rata-rata m₁ dan m₂ dan simpangan baku s₁ dan s₂. Karena umummnya s₁ dan s₂ tidak diketahui, maka di sini akan ditinjau hal-hal tersebut untuk keadaan s₁ = s₂ atau s₁ ¹ s₂.

Hal A). Uji pihak kanan

Yang diuji adalah    H₀ :   m₁   =   m₂

  H₁ :   m₁   >   m₂

Dalam hal s₁ = s₂ , maka statistik yang digunakan ialah statistik t seperti dalam Rumus VI(6) dengan s² seperti dalam Rumus VI(7). Kriteria pengujian yang berlaku ialah : terima H₀ jika t < t _{1 – a} dan tolak H₀ jika t mempunyai harga-harga lain. Derajat kebebasan untuk daftar distribusi t ialah (n₁ + n₂ – 2) dengan peluang (1 - a). Jika  s₁  ¹  s₂, maka statistik yang digunakan adalah statistik t’ seperti dalam Rumus VI(8). Dalam hal ini, kriteria pengujian adalah: tolak hipotesis H₀ jika      dan terima H₀ jika terjadi sebaliknya, dengan w₁ = s₁²/n₁, w₂ = s₂²/n₂, t₁ = t_{(1 – a).(n1 – 1)} dan  t₂ = t_{(1 – a).(n2 – 1)}. Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t ialah (1 – a) sedangkan dk-nya masing-masing (n₁– 1) dan (n₂ – 1).

Contoh : Diduga bahwa pemuda yang senang berenang rata-rata lebih tinggi badannya daripada pemuda sebaya yang tidak senang berenang. Untuk meneliti ini telah diukur 15 pemuda yang senang berenang dan 20 yang tidak senang berenang. Rata-rata tinggi badan berturut-turut 167,2 cm dan 160,3 cm. Simpangan bakunya masing-masing 6,7 cm dan 7,1 cm. Dalam taraf nyata a = 0,05, dapatkah kita mendukung dugaan tersebut?

Jawab  : 

1. H₀ : m₁ = m₂ (rata-rata tinggi badan pemuda yang senang berenang kurang dari  atau sama dengan rata-rata tinggi badan pemuda yang tidak senang berenang)

2. H₁ : m₁ >m₂  (rata-rata tinggi badan pemuda yang senang berenang lebih tinggi dari rata-rata tinggi badan pemuda yang tidak senang berenang)

3. a = 0,05

4. daerah kritis

Dari daftar distribusi t dengan peluang 0,95 dan dk = 33, didapat t_0,95 = 1,70

5. perhitungan

Jika distribusi tinggi badan untuk kedua kelompok pemuda itu normal dan s₁ = s₂, maka statistik t dalam rumus VI(6) dapat digunakan. Kita punya n₁ = 15, ,  s₁ = 6,7 cm,  n₂ = 20, dan s₂ = 7,1. dari Rumus VI(7) didapat varians gabungan

Sehingga statistik t mempunyai harga :

6. Kesimpulan.

Dari penelitian didapat t = 2,913 dan lebih besar dari t = 1,70. Jadi H₀ : m₁ = m₂ ditolak, di mana indeks satu menyatakan pemuda yang senang berenang. Dugaan di muka diterima rata-rata tinggi badan pemuda yang senang berenang lebih tinggi dari rata-rata tinggi badan pemuda yang tidak senang berenang).

Jika untuk contoh di muka dimisalkan s₁ ¹ s₂, maka digunakan statistik t’ dalam Rumus VI(8). Harga-harga yang perlu adalah :

w₁ = 44,89/15 = 2,99, w₂ = 50,41/20 = 2,52

t₁ = t _(0,95),14 = 1,76 dan t₂ = t _(0,95),19 = 1,73

 

sehingga diperoleh :

.

Kriteria pengujian adalah : tolak H₀ jika t’ ³ 1,75. karena t’ = 2,94 maka H₀ ditolak dan hasil pengujian seperti di atas dapat disimpulkan.

Untuk observasi berpasangan, pasangan hipotesis nol H₀ dan hipotesis tandingan H₁ untuk uji pihak kanan adalah :

H₀ :   m_B   =   0

H₁ :   m_B   >   0

Statistik yang digunakan masih statistik t dalam rumus VI(9) dan tolak H₀ jika t  ³ t_{1 – a} dimana t_{1 – a} didapat dari daftar distribusi Student dengan                 dk = (n – 1) dan peluang (1 – a).

Contoh :  Untuk mempelajari kemampuan belajar tentang menjumlahkan bilangan, 10 anak laki-laki dan 10 anak perempuan telah diambil secara acak. Dari pengamatan masa lampau kemampuan belajar anak laki-laki umumnya labih baik dari pada kemampuan belajar anak perempuan. Hasil ujian yang dilakukan adalah :

Laki – laki          30        21         21         27         20        25        27         22         28         18

Perempuan          31       22         37         24          30        15        25        42         19         38

Apakah yang dapat di simpulakan dari hasil ujian ini ?

Jawab  :   Ambil m_L = rata-rata hasil ujian untuk anak laki-laki

m_P = rata-rata hasil ujian untuk anak perempuan.

Akan diuji pasangan hipotesis

H₀ : m_B = m_P – m_L  = 0

H₁ : m_B > 0

Dari data di atas, setelah dihitung berdasarkan beda (selisih) tiap pasang data, didapat dan s_B = 11,34. Rumus VI(9) memberikan

Dengan dk = 9 dan peluang 0,95 dari daftar distribusi Student didapat t_0,95 = 1,83. Karena t = 1,22 lebih kecil dari 1,83 maka H₀ diterima. Dalam hal ini masih dapat dikatakan bahwa rata-rata hasil ujian anak laki-laki lebih baik daripada rata-rata hasil ujian anak perempuan.

Hal B). Uji pihak kiri

Perumusan hipotesis H₀ dan hipotesis tandingan H₁ untuk uji pihak kiri adalah :

H₀ :   m₁   =   m₂

H₁ :   m₁   <   m₂

Langkah-langkah yang ditempuh dalam hal ini sejalan dengan yang dilakukan untuk uji pihak kanan.

Jika s₁ = s₂, kedua-duanya nilainya tak diketahui, maka digunakan statistik t dalam Rumus VI(6). Kriteria pengujian adalah : tolak H₀  t £  – t_{1 –  a} , di mana t_{1 –  a} didapat dari daftar distribusi t dengan dk = (n₁ + n₂ – 2) dan peluang (1–  a). Untuk harga-harga t lainnya, H₀ diterima.

Jika s₁ ¹ s₂, maka yang digunakan adalah statistik t’ dalam Rumus VI(8)

dan tolak H₀ untuk

di mana w₁, w₂, t₁ dan t₂ semuanya seperti telah diuraikan di muka. Jika t’ lebih besar dari harga tersebut, maka H₀ diterima.

Untuk observasi berpasangan, hipotesis H₀ dan tandingan yang diuji adalah

H₀ :   m    =    0

H₁ :   m    <    0

Statistik yang digunakan ialah statistik t dalam Rumus VI(9) dan tolak H₀ jika t £  – t_{(1 –  a),(n – 1)} dan terima H_0­ untuk t >  – t_{(1 –  a),(n – 1)}.

Dalam bagian ini contohnya tidak diberikan karena cara penyelesaiannya sejalan benar dengan untuk uji pihak kanan. Bedanya hanya terletak pada letak daerah kritisnya saja.

9.       MENGUJI KESAMAAN DUA VARIANS (UJI HOMOGENITAS)

Dalam pegujian hipotetsis dua rata-rata dietakaknkan adanya asumsi bahwa kedua populasi mempunyai varians yang sama, oleh karena itu perlu menguji mengenai kesamaaan dua varaians. Populasi populasi dengan varians yang sama besar dianmakan populasi dengan varians yang homogen.

      Misalkan kita mempunyai dua populasai normal dengan varians s₁² = s₂². Akan diuji hipotesis H₀ : s₁² = s₂² lawan H₁: s₁² ¹ s₂².  jika sampel kesatu berukuran n₁ dengan varians s₁² dan sampel dari populasi kedua berukuran n₂ dengan varians s₂² maka unutk menguji hipotesis diatas digunakan statisistik

F=       

kriteria pengujian teroma H₀ jika F_{(1 –  1/2a)(}n_{1 – 1) ,(} n₂-₁₎<F<  _1/2a,(n_{1 – 1), (} n₂-₁₎

Contoh.  Misalkan akan diuji apakah dua  populasi mempunyai varians yang homogen, untuk diambil sampel acak berukuran 10 dari poluasi pertama dan diperoleh s₁²= 24,7 dan dari poluasi kedua diambil  sampel acak berukuran 13 dan diperoleh s₂²= 37,2. Dengan a = 0,10 tentukan apakah kedua populasi mempunyai varians yang homogen.

Jawab.

1. H₀ : s₁² = s₂²
2. H₁: s₁² ¹ s₂²
3. a = 0,10
4. Daerah kritis

Dari daftar distribusi F didapat F_{0,05 (9 , 12)} = 2,80. Untuk mencari F_{0,95 (9 , 12)} dengan cara F_{0,95 (9 , 12)} = = 0,328

Kriteria penhujian terima H₀ jika 0,28 < F < 2,80 dan tolak H₀ dalam hal lainnya.

5. Perhitungan

F= = = 0,664

6. Kesimpulkan

F_hitung = 0,664 jatuh dalam daerah penerimaan H₀, jadi H₀ diterima kesimpulan kedua populasi mempunyai varians yang homogen.